用悬链线长求算架线应力

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输电线路架线应力计算的基本原理是：在任何气象条件下，电线“制造长度”不变。所谓“制造长度”是指电线处于无张力、气温为常温(一般取20℃)状态的线长，从这个公认的起点出发，本文提出一个用悬链线长直接求算输电线路架线应力的数值算法。
    一、算法的数学物理模型说明
    1、制造长度计算
    设L悬为按已知应力σi、比载gi和两固定挂点(档距和高差)计算出的悬链线长。为方便理解，可暂认为L悬 为非弹性、无胀缩的理想悬链线线长；
    设ΔLE为具有弹性模量E的电线的抗伸应变；
    设α为电线的温度线膨胀系数，常温为20℃，得制造长度L制的表达式为：
    L制=(L悬－ΔLE)[1 α(20－t i)]
    其中ti为电线所处气象状态的气温。
    关于计算式L制=(L悬-ΔLE)[1 α(20-t i)] 的理论证明和具体取向，特别是ΔLE的计算，详见官其斌老师的《架空线的应力计算及其误差分析》(〈电力建设〉Vol. 9  No.13  1988.增刊 输电线路专集 第二辑)。可以说，本文是对《官文》的解读和应用。
    2、控制制造长度
    在输电线路设计中，一般取最大风速、最大覆冰、平均气温和最低气温为初始控制气象条件。在这些确定的气象状态下，悬链线计算所必须的参数(应力、比载、气温)都是已知的。因此，当两悬挂点确定后，其L悬和L制都是可以计算出的。
    四个气象状态计算出的L制 不会是一样的，其中必有一个最大值。很明显，如果安装线长大于或小于这个值，在技术、安全和经济效益上都是不可取的，该值所对应的气象条件就是控制状态。
    3、算法的计算设计是：对耐张段的各连续档施用计算式L制=(L悬-ΔLE)[1 α(20-ti)] 计算其线长，将各连续档线长相加得每一气象状态下的耐张段悬链线长，取最大值为控制制造长度(对应的气象状态为控制状态)。和传统计算方法(《官文》公式(9)，也是最简计算方法)对照，这是在作临界档距计算和控制状态判断。所不同的是，数值算法使用的是耐张段的悬链线长，不是斜抛物线，更不是平抛物线。
    当计算其它状态时，是要反解出一个应力，这个应力应满足使该状态下的制造长度(全耐张段)等于控制制造长度(全耐张段)。
    二、计算示例
    取东电设计手册(1976.06吉林版 P160)的3. 电线应力弧垂曲线计算举例中的数据(因该例四种状态均存在)，所需参数如下：
    电线物理参数表





电线

计算

线

计算

弹性

线涨

最大使

年平均


名称

线重

径

截面

系数

系数

用应力

运行应力


(铭牌)

kg/m

mm

mm2

MPa

1/℃

MPa

MPa


LGJ-185

0.7711

19.00

215.40

83258

0.000019

98.665

69.066

    气象参数及比载应力表







最大风速

最大覆冰

平均气温

最低气温


气温(℃)

10

-5

10

-40


风速(m/s)

30

10

0

0


覆冰(mm)

0

5

0

0


比载(MPa/m)

0.05333

0.05151

0.03511

0.03511


设计运行应力(MPa)

98.67

98.67

69.07

98.67

    按最简计算法给出临界档距：





临界档距

最低气温

327.67

平均气温

348.54

最大覆冰

590.17

最大风速

    为与最简计算法作结果比较，解出四种状态的悬链线线长数据 (表中线长为累加值，所有单位均为物理量纲规定的标准单位)：






杆塔号

使用档距

高差

最大风速线长

最大覆冰线长

平均气温线长

最低气温线长


N1"

250

25.0

251.184

251.243

251.252

251.314


N2"

310

35.0

563.200

563.323

563.338

563.421


N3"

300

49.5

867.272

867.460

867.483

867.597


N4"

300

63.0

1173.824

1174.076

1174.109

1174.256


N5"

300

63.0

1480.375

1480.693

1480.735

1480.915


N6"

231

60.0

1718.938

1719.314

1719.368

1719.621


N7"

代表档距

286.44m

临界档距判断为最低气温控制，最大线长1719.621m出现在最低气温。







杆塔号

使用档距

高差

最大风速线长

最大覆冰线长

平均气温线长

最低气温线长


N7"

400

25.0

401.157

401.218

401.210

401.095


N8"

330

35.0

733.109

733.236

733.231

733.115


N9"

300

49.5

1037.181

1037.372

1037.376

1037.291


N10"

300

63.0

1343.732

1343.989

1344.001

1343.950


N11"

300

63.0

1650.284

1650.606

1650.627

1650.608


N12"

330

60.0

1985.783

1986.171

1986.198

1986.181


N13"

400

25.0

2386.939

2387.389

2387.408

2387.276


N14

代表档距

344.98m

临界档距判断为平均气温控制，最大线长2387.408m出现在平均气温。







杆塔号

使用档距

高差

最大风速线长

最大覆冰线长

平均气温线长

最低气温线长


N14"

700

35.0

704.343

704.264

704.113

702.643


N15"

300

49.5

1008.416

1008.400

1008.258

1006.819


N16"

300

63.0

1314.967

1315.017

1314.883

1313.478


N17"

300

63.0

1621.518

1621.634

1621.509

1620.137


N18

代表档距

514.78m

临界档距判断为最大覆冰控制，最大线长1621.634m出现在最大覆冰。







杆塔号

使用档距

高差

最大风速线长

最大覆冰线长

平均气温线长

最低气温线长


N18"

612

-119.3

625.621

625.615

625.532

624.659


N19"

723

-75.9

1356.438

1356.333

1356.083

1353.571


N20"

780

-131.8

2152.390

2152.128

2151.664

2147.041


N21"

536

-144.5

2708.757

2708.532

2708.028

2702.908


N22"

607

-205.1

3351.367

3351.152

3350.582

3344.663


N23

代表档距

669.27m

临界档距判断为最大风速控制，最大线长3351.367m出现在最大风速。

下面以计算N14" N18安装应力为例，说明求解过程。
算前表





杆
塔
号

使用
档距

高
差

最大风速
线长

最大覆冰线长

平均气温线长

最低气温线长

-5℃
线长

5℃
线长

15℃
线长


N14"

700

35.0

704.343

704.264

704.113

702.643

704.31

704.18

704.05


N15"

300

49.5

1008.416

1008.400

1008.258

1006.819

1008.54

1008.35

1008.16


N16"

300

63.0

1314.967

1315.017

1314.883

1313.478

1315.26

1315.01

1314.76


N17"

300

63.0

1621.518

1621.634

1621.509

1620.137

1621.97

1621.66

1621.36


N18







初始应力(平均气温应力)

69.066

69.066

69.066










与最大覆冰(控制制造长度)线长差

0.335

0.029

-0.278  

    如上表。计算时，进入Excel的Goal Seek，以线长差(四个状态中的线长最大值与初始线长之差)为目标单元格(期望其解为零值)、以初始值为可变单元格求解即可。和状态方程一样，这是一个一元方程(待求变量即该耐张段的安装应力)，只是方程为多项悬链线公式的和式，因此成了超越方程。这在没有微机时，求解基本上是不可能的。
    具体应用时，利用Excel的Macro很容易实现对多个温度(或各种设计所需气象状态)的自动计算(按键启动)。
    结果表





杆
塔
号

使用
档距

高
差

最大风速
线长

最大覆冰线长

平均气温线长

最低气温线长

-5℃
线长

5℃
线长

15℃
线长


N14"

700

35.0

704.343

704.264

704.113

702.643

704.06

704.16

704.26


N15"

300

49.5

1008.416

1008.400

1008.258

1006.819

1008.26

1008.33

1008.40


N16"

300

63.0

1314.967

1315.017

1314.883

1313.478

1314.95

1314.98

1315.02


N17"

300

63.0

1621.518

1621.634

1621.509

1620.137

1621.63

1621.63

1621.63


N18







计算值(安装应力)

71.372

69.254

67.293










与最大覆冰(控制制造长度)线长差

0.000

0.000

0.000  

    各温度列的线长累加值均被解为控制制造长度1621.63m。
    关于这个算法，再多说几句，以加深自己的理解。     
    第一步，计算四个已知状态线长时，是从设计参数出发的，计算目的是找出控制制造长度。相当于最简计算法的临界档距计算和控制状态判断；第二步，求解安装应力，过程正好反过来：是要求出一个应力，以保证控制制造长度。相当于最简计算法的以控制状态参数、从状态方程解出安装应力。就算法过程和对算法的文字说明看，这个数值算法不须要传统意义上的临界档距和状态方程这两个概念，算法始终只是在线长上来回折腾。当然，就基本原理而言，和状态方程是完全一样的。
    最后，把四种状态应力计算结果(线长求算法和最简计算法)列表如下，以供检验和分析。
    安装应力表





耐张段

控制
状态

控制线长代表档

方  法

-15°C

-5°C

5°C

15°C

25°C

35°C


N1"N7

最低
气温

1719.621

线长求算

79.096

72.969

67.682

63.121

59.180

55.758


286.44

最简计算

79.206

73.136

67.902

63.388

59.485

56.095


N7"N14

平均
气温

2387.408

线长求算

80.561

75.511

71.077

67.177

63.734

60.682


344.98

最简计算

80.416

75.429

71.052

67.201

63.799

60.782


N14"N18

最大
覆冰

1621.634

线长求算

73.664

71.372

69.254

67.293

65.471

63.774


514.78

最简计算

73.504

71.249

69.165

67.234

65.438

63.766


N18"N23

最大
风速

3351.367

线长求算

70.755

69.405

68.123

66.904

65.743

64.636


669.27

最简计算

70.405

69.124

67.905

66.744

65.637

64.579

    关于两种算法的误差，《官文》已作了很周详的分析。再结合本文计算结果，感觉上最简计算法的可信度还是高的。而且，简化的状态方程式可以写成简洁、优美的对称形式。
     
云南省送变电工程公司 李应龙  
2003年7月22日 昆明